Что мне делать, как быть?

Людмила, из Вашего письма не совсем понятно, в чем именно Ваша трудность:
- носить или не носить пальто?
- как не ссориться с подругой?
- как показать ей, что Вы не повторяете все за ней?
Наверно из этих трех вариантов только отношения с подругой являются, действительно, имеют отношение к психологии. Поэтому отвечу на него. А точнее предлагаю вместе поразмышлять над ним.

Вопросы для размышления: 
1. Подумайте, что для Вас в реакции подруги было неожиданным? Ведь Вы пишите, что знали, что у нее есть похожее пальто. Более того, как девушка, Вы наверняка предполагали, что девушки переживают, когда видят на ком-то тот же наряд, что и у себя (а тем более, когда дело касается человека, с которым она часто бывает вместе!).
2. Это первый раз, когда подруга обвиняет Вас в повторении за ней или это происходит регулярно? 
3. Как Вы обычно преодолеваете разногласия, обиды?
4. Часто ли Вы уступаете своей подруге ради того, чтобы она не обижалась, чтобы продолжала дружить с Вами?
Ответы на эти вопросы, надеюсь помогут Вам лучше понять, что же произошло между Вами, на сколько каждая из Вас учитывает переживания и чувства своей подруги (Вы - покупая одинаковое пальто, она - не позволяя Вам носить ту вещь, которая Вам понравилась)
Как и во многих жизненных ситуациях, здесь единственного правильного ответа, решения. Просто Вы решаете, что для Вас важнее: отношения с подругой (и тогда Вы просите прощения за непродуманный поступок и не носите новое пальто),  стремление делать так, как Вам хочется (и тогда Вы носите пальто), стремление доказать, что Вы не повторяете за ней (тогда покупаете новое, еще более стильное и крутое пальто)... и т.д.
Желаю, чтобы пальто не стало причиной разлажда в Ваших отношениях.
С уважением, семейный психотерапевт Румия Калинина